Решение сложных задач ЕГЭ

«Математика есть лучшее и даже единственное
введение в изучение природы»
(Д.И. Писарев)

Впервые пособие вышло в 2005 г. За последние годы изменились форма и содержание ЕГЭ, но книга стала ещё более актуальной, потому что в ней собраны все самые эффективные и современные методы и способы решения алгебраических уравнений и неравенств, которые именно теперь необходимы для успешного выполнения заданий части С.

Данное издание будет полезно при подготовки к экзамену в любом учебном году, так как охватывает гораздо больший диапазон тем, чем задания какого-то конкретного ЕГЭ.

Зачем написано ещё одно пособие для подготовки к ЕГЭ? Чем оно отличается от других? Может быть, кому-то покажется, что немногим. Но, как показывает работа со школьниками, являющимися учащимися ФЗФТШ при МФТИ, представленная методика оказывается плодотворной.

Отметим некоторые конкретные её особенности.

Обращаем внимание на то, что в нашем пособии все методы решения основаны на равносильности преобразований. Некоторые учителя и учащиеся, быть может, встретят не очень знакомые способы решения задач, так как далеко не во всех школах работают с равносильными переходами. Но если обратиться к авторским решениям заданий ГИА и ЕГЭ, можно убедиться в том, что равносильные переходы применяются всё чаще и чаще. Кроме того, опыт работы последних лет на курсах повышения квалификации учителей в МФТИ показал, что и сами учителя всё больше приветствуют именно такой способ оформления решений.

В школе довольно много времени уделяется построению графиков элементарных функций, но практического применения они почти не находят. Мы постарались использовать свойства и вид графиков элементарных функций для решения уравнений и неравенств. Например, решаем неравенство  с помощью графиков и единственного уравнения , не рассматривая стандартных случаев разных знаков правой части.

В последнее время почти совсем исчезли из преобразований так называемые сопряженные выражения. В книге мы вспомним о них и увидим, как с их помощью можно упростить решения некоторых иррациональных неравенств и неравенств, содержащих модули. Например, неравенство вида  в учебной литературе решают чаще всего, рассматривая два случая различных знаков знаменателя, и соответственно получают два неравенства с корнем. Мы решаем такое неравенство, рассматривая два различных знака , и тогда никаких неравенств с корнем решать не придётся. Приведённые в книге способы решений некоторых типов иррациональных неравенств не являются единственными, но отличаются от других тем, что с помощью сопряженных выражений иррациональные неравенства превращаются в рациональные, которые решаются с помощью метода интервалов, изучаемого всеми в 9 классе.

Что касается задач, содержащих модули, то обычно школьники решают их, раскрывая модули. Это длительная и трудоёмкая работа, которая требует постоянного внимания и напряжения. Она утомляет, и учащиеся, думая, что только такие способы и есть, просто перестают решать подобные задачи. Условия равносильности, приведённые в данном пособии, встречаются сегодня практически во всех других, но они нигде не доказаны и используются как-то очень вяло. Видимо, ещё не все учителя к ним привыкли или просто боятся, что дети не поймут.

Известно, что логарифмические уравнения решаются школьниками хуже других. Этому есть объяснение. На первый взгляд в этой теме нет ничего сложного, достаточно только выучить формулы. Однако не все формулы хорошо работают. Особенно подводит, например, формула для . В пособии приведены примеры таких случаев и дополнены основные формулы для показательных и логарифмических функций.

Кроме того, в книге даны определения функций, про которые молчат школьные учебники: сложная экспонента  и логарифм с переменным основанием . Из определений будут естественным образом вытекать их свойства и способы решения уравнений и неравенств, их содержащих. Выведены правила, по которым решаются уравнения  и . Особое внимание уделено показательным и логарифмическим неравенствам как с постоянным, так и с переменным основанием, приведены правила, позволяющие свести решение такого сложного неравенства, как например  или , к решению рационального неравенства , которое уже сможет решить любой хорошист классическим методом интервалов, изучаемым всеми в 9 классе. Заметим, что здесь не надо рассматривать отдельно случаев основания, большего или меньшего единицы.

Мы стараемся решать задачи методами, доступными как можно большему количеству обычных школьников, избегая прибегать к сложным способам, если можно обойтись стандартными.

Книгу отличает также алгоритмичность подхода к решению. Мы не просто хотим дать указания к решению, а ставим задачу – научить тому, как  выполнить указания, которые, возможно, есть и в других источниках.

Пособие поможет понять сложный материал тем учащимся, которые не очень сильны в математике, и аккуратно всё расставить по полочкам тем, чей уровень знаний довольно высок. 

Ко всем задачам приводятся решения.

Пособие предназначено для учителей и старшеклассников. Приведённая методика отсутствует в любом учебнике, но она одобрена ФИПИ для подготовки к итоговой аттестации и ЕГЭ по математике.

Желаем всем успеха!

  
Автор:  Колесникова Софья Ильинична, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ, редактор журнала «Потенциал», ведущий специалист ФЗФТШ при МФТИ, соросовский учитель